2 часа Цель урока: Образовательная

Название	2 часа Цель урока: Образовательная
Дата	12.02.2016
Размер	120.52 Kb.
Тип	Урок

1. /Решение нестандартных.docx

Решение нестандартных

показательных уравнений

( 2 часа)

Цель урока:

Образовательная: систематизировать умения решать и выбирать способы решения показательных уравнений; рассмотреть использование свойств функции при решении нестандартных показательных уравнений.
Развивающая: развивать математическую речь, логические рассуждения при решении показательных уравнений.
Воспитывающая: воспитывать аккуратность, чувство ответственности, корректность в ведении дискуссии.

Оборудование: карточки с заданиями; презентация к уроку, проектор, экран.

Тип урока: комбинированный урок

Ход урока

Организационный момент.
Определение темы и цели урока.

На слайде уравнения

5^х – 3^х =16 или 2^х + 3^х + 4^х = 9^х (Слайд 3)

- Ребята, как решаются эти уравнения? (Учащиеся высказывают свои мнения и предложения).

- Итак, нам недостаточно тех знаний, которые мы ранее изучили. Но как же их все-таки решать? И как можно назвать такие уравнения? Какова же цель нашего урока и его тема?

- Итак, на предыдущих уроках мы познакомились с показательной функцией, изучили ее свойства, решали показательные уравнения. Сегодня мы с вами повторим свойства показательной функции и будем учиться применять их при решении нестандартных показательных уравнений. И тема нашего урока «Решение нестандартных показательных уравнений»

Фронтальный опрос.

- Какая функция называется показательной? (Слайд 5)

- Какими свойствами обладает показательная функция?

- Возрастает или убывает данная функция?

y = ()^x ( возрастающая функция, так как 0)
y = (убывающая функция, так как 0 )
y = ( )^х (убывающая )
y = ( )^х ( убывающая)

- Какое уравнение называется показательным? (Слайд 6)

- Каков общий вид простейшего показательного уравнения?

- Сравните m и n, если

()^m()ⁿ (mn)
)^m ()ⁿ (m

Решите уравнение:

5^sinx = -

( нет корней)

Решите уравнение:

5^sinx = 1 ( х=

, n

Сформулируйте теорему о корне. (Слайд 7)

- А сейчас поработаем самостоятельно – за 3-5 минут вы должны решить 5

показательных уравнений. Посмотрите, какой способ решения вы

использовали?

- https://learningapps.org/1119937

Изучение нового материала

- Каким способом вы решали данные уравнения?

- А какие, вообще, существуют методы решения показательных уравнений? (Слайд 8)

метод приведения степеней к одному основанию;
метод вынесения общего множителя за скобки;
метод введения новой переменной;
метод почленного деления;
метод группировки;
графический метод.

- На столах лежат карточки с уравнениями. Определите, каким методом можем решить каждое из уравнений. (Слайд 9)

1) 4^х – 2^х – 6 = 0 (3)

2) 1,5^5х-7 = (

)^х+1 (1)

3) 2^. 3^х+1 – 6^. 3^х-1 – 3^х = 9 (2)

4) (

)^х = -

(6)

5) 2^х²-1 – 3^х² = 3^х²-1 – 2^{х² +2} (4)

6) 3^2х+6 = 2^х+3 (5)

- Какое из уравнений мы знаем, как решать, а какое вам кажется сложным?

- Давайте решим вместе 5 уравнение?

2^х²-1 – 3^х² = 3^х²-1 – 2^{х² +2}

2^х²-1 + 2^{х² +2 =}3^{х²-1 +}3^х²

2^х²-1(1+2³)= ⁼3^х²-1 (1+3¹)

2^{х²-1 .} 9 = 3^{х²-1 .} 4 / : 4^. 3^х²-1

0

(

)^{х²-1 .}

= 1

(

)^х²-1 ^. (

)² = 1

(

)^х²-1 ^. (

)^-2 = 1

(

)^х²-3 = 1

Х² – 3 = 0

Х =

Физкультпауза (Слайд 10)

- Сейчас мы проведём зарядку для глаз (Звучит спокойная музыка)

Плотно закройте глаза и постарайтесь расслабиться, представьте большой белый экран и кисть, которой вы закрашиваете этот экран в зелёный цвет, красивый зелёный цвет молодой листвы.

А теперь вспомните приятные моменты своей жизни, например, плеск ласкового моря или путешествие на катере по реке, а, может, вы пройдётесь по лесной тропинке, собирая ягоды и грибы.

А теперь откройте глаза интенсивно моргая, сжимая и разжимая глаза.

И, наконец, нарисуйте оценку, которую вы хотите сегодня получить за урок. Нарисовать нужно глазами на доске, на стене, на окне и на потолке.

Изучение нового материала

(Решаем оставшиеся примеры по группам с разноуровневыми способностями).

1 уровень 2 уровень

4^х – 2^х – 6 = 0 2^. 3^х+1 – 6^. 3^х-1 – 3^х = 9

2^х = t, t

0 3^х (2^. 3 – 6 ^.

– 1) = 9

t² +t - 2 = 0 3^х ^. 3 = 9

t₁ = 1; t₂ = - 2 – посторонний корень 3^х = 3

2^х = 1 х=1

х=0

3 уровень

3^2х+6 = 2^х+3

3^2(х+3) = 2^х+3

9^х+3 = 2^х+3 / : 2^х+3

0

(

)^х+3 = 1

х= - 3

- Ну а теперь давайте решим уравнение 5^х – 3^х =16. Каким способом можно это сделать? (Слайд 11)

- Значит, того что мы знаем для решения не достаточно?

Давайте решим это уравнение вместе.

5^х – 3^х =16

5^х =16 + 3^х/: 3^х

(

)^х =

+ 1

В начале урока мы выяснили, что f(x) = (

)^х возрастающая функция на R, а g(x) = 16/ 3^х +1 убывающая функция на R, значит, уравнение (

)^х =

+ 1

имеет единственный корень. Подбором находим, что это число 2, т.е. х=2

Ответ: 2

(К доске можно вызвать сильного ученика предоставить возможность решить ему следующее уравнение)

2^х + 3^х + 4^х = 9^х (Слайд 11)

- Как получить уравнение равносильное данному? ( Выполнить группировку)

2^х + 3^х = 9^х – 4^х

2^х + 3^х = (3^х)² - (2^х)²

2^х + 3^х = (3^х – 2^х)(3^х + 2^х)

(2^х + 3^х) - (3^х – 2^х)(3^х + 2^х) =0

(2^х + 3^х) (1 - 3^х + 2^х) = 0 /: (2^х + 3^х)

1 - 3^х + 2^х = 0

1 + 2^х = 3^х/: 3^х

(1/3)^х + (2/3)^х = 1

Так как f(x) = (2/3)^х и g(x) = (1/3)^х убывающие функции на R, то в левой части уравнения убывающая функция (как сумма двух убывающих функций, значит, если уравнение имеет корень, то он единственный). Подбором находим, что х=1 ( 2/3 + 1/3 = 1 – верно)

Ответ: 1

- Как можно еще решить данное уравнение?

2^х + 3^х + 4^х = 9^х /: 9^х

(2/9)^х + (3/9)^х + (4/9)^х=1

В левой части уравнения убывающая функция ( как сумма трех убывающих функций), значит, по теореме о корне – уравнение имеет единственный корень и это х=1, а, значит, этот корень имеет и равносильное ему уравнение 2^х + 3^х + 4^х = 9^х , т.к. 2¹ + 3¹ + 4¹ = 9¹ – верно

()^х + ( )^х = ( )^х (Слайд 12)

(У доски решает сильный ученик)

(

)^х + (

)^х = (

)^х /: (

)^х

0

(

)^х + (

)^х = 1

(

)^х + (

)^х = 1

В левой части убывающая функция (как сумма двух убывающих функций ) (это мы выяснили вначале урока), значит, если уравнение имеет корень, то он будет единственным, т.е. х = 2 ( делаем проверку)

Ответ: 2

(3^. 5^{2sin x- 1} – 2^. 5^{sin x-1} – 0,2) = 0 (Слайд 12)

[1;5]

= 0 или 3^. 5^{2sin x- 1} – 2^. 5^{sin x-1} – 0,2 = 0

3 (5^{sin x})^{2 .} 5^-1 – 2 ^. 5^{sin x} ^. 5^-1 – 0,2 = 0

х₁= 1; х₂ = 5 5^sin^x = t, t

t² -

t -

= 0/ ^. 5

3t² -2t -1 = 0

t₁ = 1; t₂ = - 1/3 – посторонний корень

5^sin^x = 1

sin x = 0

х=

, n

. Найдем корни, которые принадлежат

[1;5] . 1

5 при n=1, значит, х=

Ответ: 1;

Физкульминутка (Слайд 13)

Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами. В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.

5	13	18	3
19	1	8	16
12	14	20	10
4	9	15	6

Самостоятельная работа по уровням. (Слайд 14 – 16)

1 уровень

12^х + (

)^2х = 13^х / : 13^х

0

( 12/13)^х + (5/13)^х = 1

В левой части убывающая функция ( как сумма двух убывающих функций), значит, х=2 (сделать проверку)

Ответ: 2

2 уровень

3^{2х² - 1} – 3^(х-1)(х+5) – 2^. 3^8(х-1) = 0 /: 3^8(х-1)

3^{2х²-1-8(х-1)} – 3^{(х-1)(х+5)-8(х-1)} – 2 =0

З^2х²-8х-7 – 3^х²-4х+3 – 2 = 0

3^{(2х²-8х+6)-1} - 3^х²-4х+3 +2 =0

3^х²-4х+3 = t, t

3t² - r – 2 = 0

t_{1 = 1;} t₂ = - 2/3 – посторонний корень

3^х²-4х+3 = 1

х²-4х+3 =0

х₁= 1; х₂ =3

Ответ: 1:3

3 уровень

(

)^х + (

)^х = 18

Так как

= 1, то

Пусть (

)^х = t, t

, то (

)^х =

t + 1/t = 18

t_1,2 = 9 ± 4

(

)^х = 9 + 4

, (

)^х = 9 - 4

( 9 - 4

)^x^/2 =

( 9 - 4

)^x^/2 = 9 - 4

( 9 - 4

)^x^/2 = ( 9 - 4

)^-1x/2 = 1

x/2 = - 1 x=2

x= -2

Ответ: -2; 2

Домашняя работа (слайд 17)

Решить уравнения:

1 уровень:

5^2х – 2^. 5^х – 15 = 0

0,6^х ^. (25/9)^х²-12 = (27/125)³

7^х+1 +3^. 7^х = 3^х+2 + 3^х

2 уровень:

6^. 4^х – 13 ^. 6^х + 6^. 9^х = 0

16^х + 12^х = 2^. 9^х

5^2х²-1 – 3^. 5^(х+1)(х+2) – 2^. 5^6(х+1)=0

3 уровень:

4^х + (х-13) ^. 2^х -2х+22 = 0

При каких значениях параметра b уравнение

9^х -2(3b-2)^. 3^х +5b² -4b = 0 имеет два различных корня?

При каких значениях параметра a уравнение

4^х –(5а-3)^. 2^х + 4а² - 3а = 0 имеет единственное решение?

Подведение итогов

Решение самостоятельной работы приведено на слайде.

- Урок хочется закончить словами

“ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”.

Я. А. Каменский (Слайд 18)

- Так что вы усвоили нового и прибавили к своему образованию?

- Спасибо всем за работу!