Самообразование учащихся на уроках математики

Скачать 164.71 Kb. Название Самообразование учащихся на уроках математики Дата 06.03.2016 Размер 164.71 Kb. Тип Доклад

1. /pril1.doc Самообразование учащихся на уроках математики Доклад на тему:«Самообразование учащихся на уроках математики» подготовила учитель математики МБОУ «СОШ № 2 г. Калининска Шпакова Е.Н. Приложение 1 Тема: Вписанный угол Определение: Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом. Таков, например, угол АВС. О вписанном угле принято говорить, что он опирается на дугу, заключенную между его сторонами. Так угол АВС опирается на дугу АС или иногда обозначают АмС. Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Эту теорему надо понимать так: вписанный угол содержит в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключается в половине дуги, на которую он опирается. Дано: окружность с центром О; < АВС –вписанный. Доказать: < АВС =  дуги АС Доказательство: при доказательстве теоремы рассмотрим три случая: Следствие: А В О Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны между собой. (потому что каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги). Если величину одного из этих углов обозначить «α», то можно сказать, что сегмент АмВ (заштрихованный на чертеже) вмещает в себя угол, равный «α» А В О Всякий вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой угол (потому что, каждый такой угол измеряется половиной полуокружности и, следовательно, содержит 90⁰ ) Образцы решений. Задачи по теме: «Вписанный угол». № 1. Сумма вписанного угла АВС с центральным углом АОС равна 90⁰. Найдите каждый из этих углов. В Дано: окружность с центром О х < АВС – вписанный А 2хх <АОС – центральный < АВС + < АОС = 90⁰. С Найти: < АВС = ?, <АОС = ? Решение: обозначим вписанный угол АВС=Х → АмС = 2Х, т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Тогда центральный <АОС=2Х, т.к. он измеряется дугой, на которую опирается. < АВС + < АОС = 90⁰ (по условию), х+2х =90, 3х=90,х=30 < АВС = х= 30⁰, < АОС = 2×30 = 60⁰ Ответ: < АВС = 30⁰, < АОС = 60⁰ № 2 Разность центрального угла АОС и вписанного угла АВС равна 30. Найдите каждый из этих углов. В Дано: <АОС – центральный А < АВС – вписанный f <АОС - <АВС = 30⁰ m С Найти: < АВС = ?, <АОС = ? Решение: пусть < АВС = Х, тогда UАмС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается). <АОС - <АВС = 30⁰ (по условию), 2х-х =30 , х=30 < АВС = 30, <АОС = 2×30 = 60 Ответ: < АВС = 30⁰, < АОС = 60⁰ № 3 Хорды АВ и СД пересекаются. Найдите < САД, если < СДА = 40⁰, а < АВД = 80⁰ m Дано: окружность, АВ, СД – хорды, А С М – точка пересечения хорд АВ и СД h < СДА = 40⁰, < АВД = 80⁰ Д В Найти: < САД = ? Решение: < СДА = ½U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается) U АмС = 2х <СДА, U АмС = 2х40 = 80, <АмС= 80 <АВД = ½ U АпД (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается). U АпД = 2×<АВД, U АпД = 2× 80 = 160, U АпД = 160 < САД = ½ U СВД, < САД = ½ (360⁰- U АмС – U АпД), < САД = ½ (360⁰ - 80 – 160) = 60; < САД = 60 Ответ: < САД = 60⁰ № 4 Хорды окружности АД и ВС пересекаются. Найдите <САД, если <АВС=50⁰, <АСД=80⁰. А С Д В Дано: окружность, <АВС=50, <АСД=80⁰. Найти: < САД = ? Решение: <АВС = ½ U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается), U АмС = 2× <АВС, U АмС = 2× 50⁰ = 100⁰, U АмС = 100⁰ <АСД = ½ U АВД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается). U АВД = 2× < АСД U АВД = 2× 80 = 160⁰, U АВД = 160⁰, <САД = ½ U СпД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается), <САД = ½ (360⁰ - U АмС – U АВД) = ½ (360⁰ – 100⁰ - 160⁰ ) =50⁰ Ответ: < САД = 50⁰ № 5 доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Д А С ано: ∆ АВС – прямоугольный (<С = 90⁰), вписан в окружность Д О оказать: О – центр окружности Д В оказательство: все углы, опирающиеся на диаметр прямые → если < С = 90⁰, то АВ -диаметр, но АВ – гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине гипотенузы АВ № В 6 сторона треугольника равна 10 см.,а противолежащий ей угол равен 150⁰. Найдите радиус описанной окружости. Д А ано: ∆АВС вписан в окружность, в О =АС=10 см, < АВС = 150⁰ Н С айти: ОС = R = ? Решение: = = = 2 R (По теореме синусов: стороны пропорциональны синусам противолижащих углов). Отсюда = 2 R, 2R ×  = в, R = , R = =  = = =5×2=10, R = 10 cм. Ответ: R = 10 cм. № 7 точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если <АВС = 30⁰, а диаметр окружности 10 см. В Дано: окружность с центром О, А А, В, С – принадлежат окружности < АВС = 30⁰, 2R = 10 см. С Найти: АС=? С Решение: = = = 2 R (По теореме синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов). Отсюда = 2 R, 2R ×  = в = 10× = 10 × ½ =5, АС = в =5 Ответ: АС = 5 cм. № 8 Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника. С Дано: АВСД – четырехугольник, вписанный в окружность, В Д < А: <В : <С = 4 : 3 : 5 Н А айти: <А = ?, <С=?, < В=?, < Д=? Решение: < А + < С = 180⁰, < В + < Д = 180⁰, (т.к у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180⁰), обозначим: Х – 0бщая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х < А + < С = < В + < Д, < А + < С = 180⁰, < А = 4 Х <А= 80⁰ 4 Х + 5 Х = 3Х +<Д 4 Х + 5 Х = 180⁰, < В = 3 Х <В = 60⁰ < Д = 6 Х 9 Х = 180⁰ <С = 5Х <С = 100⁰ Х = 20⁰ < Д = 6 Х < Д = 120⁰ Ответ: <А= 80⁰, <В = 60⁰, <С = 100⁰, < Д = 120⁰ № В Д 9 В треугольнике АВС проведены две высоты АЕ и СД. О – точка их пересечения. Доказать, что около четырехугольника ВДОЕ можно описать окружность. Д С Е ано: ∆ АВС, АЕ ВС, СД АВ, О – точка пересечения СД и АВ Д А оказать: Около ВДОЕ можно описать окружность Доказательство: рассмотрим четырехугольник ВДОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180⁰ (n – 2) = 180⁰ (4 – 2) = 360⁰ < В + < Д + < О + < Е = 360⁰, но < Д = 90⁰ и < Е = 90⁰ (по условию) < < Д + < Е = 90⁰+ 90⁰ = 180, < Д + < Е = 180⁰, <В + 90⁰+ < О + 90⁰ = 360⁰, < В + < О + 180⁰ = 360⁰, < В + < О = 180⁰ < В + < О = < Д + < Е В четырехугольнике ВДОЕ сумма противоположных углов равна 180⁰. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность. № В 10 Найдите радиус окружности к задаче № 9, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см. Е Д Д ано: ВДОЕ вписан в окружность <ВДО = 90⁰, <ВЕО = 90⁰ А С Найти: R = ? Решение: все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО – диаметр окружности. 2R = 10, R = 5 см. Ответ: R = 5 см. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ. По теме «ВПИСАННЫЕ УГЛЫ». № 1 построите прямоугольный треугольник по гипотенузе «а» и катету «в» (а>в). а Дано: а=5 см, в = 3,5 см в Построить: прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в» П С остроение и доказательство: Возьмем произвольную прямую MN. На этой прямой возьмем произвольную точку А. Н М N а прямой MN от точки А отложим отрезок АВ = а Р O азделим отрезок АВ пополам и отметим точку О. Р А В адиусом ОА опишем полуокружность с центром в точке О. Затем проводим дугу радиусом, равным «в» с центром в точке А и на полуокружности отмечаем точку С. Точку пересечения «С» полуокружности с радиусом ОА и дуги с радиусом АС соединим с концами диаметра АВ. ∆ АВС – прямоугольный (<С=90⁰) т.к. все углы, опирающиеся на диаметр – прямые. АВ = а, является гипотенузой прямоугольного ∆ АВС, АС = в, катет прямоугольного ∆ АВС, следовательно ∆ АВС – искомый прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в». № 2 Из конца А данного луча АВ, не продолжая его, воставить к нему перпендикуляр. D A C B Дано: точка А, АВ –луч Построить: АД АВ Построение и доказательство: Проведем луч АВ Вне луча возьмем произвольную точку О Проведем окружность радиусом ОА, так чтобы она пересекала луч АВ в точке С. Через точку С и точку О проведем луч со. На луче СО отложим ДО = ОС. ДС – диаметр окружности Соединим конец диаметра точку Д с точкой А. Прямая АД есть искомый перпендикуляр, потому что угол А –прямой, как вписанный и опирающийся на диаметр. АД АВ № C 3 Через данную точку провести к данной окружности касательную. A B Дано: окружность с центром О O а ) С принадлежит окружности б) А лежит вне окружности Построить: касательную к окружности, проходящую через данную точку. Построение и доказательство: а ) данная точка С лежит на самой окружности. Тогда через точку С проводим радиус ОС, и через конец радиуса строим перпендикуляр АВ к этому радиусу. б B A B1 O ) данная точка А лежит вне окружности с центром О. Соединив А с О делим АО пополам в точке О1 и с центром в этой точке радиусом ОО1, описываем окружность через точку В и В1, в которых эта окружность пересекается с данной, проводим прямые АВ и АВ1. Эти прямые и будут касательными, т.к. углы ОВА и ОВ1 А, как опирающиеся на диаметр прямые, следовательно: АВ, АВ1 – касательные к окружности с центром О Следствие: две касательные, проведенные к окружности из точки вне её, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром. ∆ ОВА = ∆ ОВ1А по гипотенузе и катету (< ОВА = < ОВ1А = 90⁰ - углы, опирающиеся на диаметр. ОВ = ОВ1, радиусы окружности с центром О, ОА – общая гипотенуза) Отсюда: АВ = АВ1, < ВАО = <В1АО РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО. 1 ступень. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец её, составляет с её хордой угол в 37⁰23' ? (ответ: 105⁰14') Дуга содержит 117⁰23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведенного в конец дуги. (ответ: 148⁰41'30'' ) АВС – секущая; ВД – хорда; U ВД содержит 43⁰; U ВДС содержит 213⁰41'. Определить <АВД. (ответ: 94⁰39'30'') Вычислить угол, вписанный в дугу, составляющую  окружности. (ответ: 84⁰22'30'') Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37⁰21' ? (ответ: 285⁰18') Дуга содержит 84⁰52'. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда? (ответ: 137⁰34') Хорда делит окружность в отношении 5 : 11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду. (ответ: 123⁰45'; 56⁰15') и АВ и АС – две хорды, U АВ содержит 110⁰23'; U АС содержит 38⁰. Определить <ВАС. (ответ: 105⁰48'30'' или 36⁰11'30'') Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130⁰, а большая делится хордой АС в отношении 31 : 15 (начиная от А). Определить <ВАС. (ответ: 37⁰30') Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают <ВАС, равный 72⁰30'; U АВ : U АС = 19 : 24. Определить эти дуги. (ответ: 95⁰ и 120⁰) Окружность разделена в отношении 7 : 11 : 6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника. (ответ: 52⁰30'; 82⁰30) 2 ступень Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный в хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2. Точки А и В соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: U АСВ содержит 117⁰23'; и U АВД содержит 42⁰37'; середины их С и Д соединены с А. Определить < САД В сегмент АМВ вписана трапеция АСДВ, у которой сторона АС = СД и <САВ = 51⁰20'. Сколько градусов содержит дуга АМВ? АВ – диаметр; С, Д и Е – точки на одной полуокружности АСДЕВ. На диаметре АВ взяты: точка М так, что < СМА = < ДМВ, и точка Н так, что < ДНА = < ЕНВ. Определить < МДН, если дуга АС содержит 60⁰ и дуга ВЕ содержит 20⁰. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40⁰. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими на три части. Найти эти части. Основание равнобедренного треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность – сторонами треугольника? Построить несколько точек окружности, имеющий данный диаметр, пользуясь лишь чертежным треугольником. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с=5 см и высоте, опущенной из вершины прямоугольного угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной. АВ и АС – равные хорды, МАН – касательная; ВС – на которой лежит точка А, содержит 213⁰ 42'. Определить углы МАВ и НАС. С – точка на продолжении диаметра АВ; СД – касательная; < АДС = 114⁰25'. Сколько градусов и минут содержит дуга ВД? АВ – диаметр окружности; ВС – касательная. Секущая АС делится окружностью (в точке Д) пополам. Определить < ДАВ. М - середина высоты ВД в равнобедренном треугольнике АВС; точка М служит центром дуги, описанным радиусом МД между сторонами ВА и ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что < ВАС=62⁰17'. Дополнительный материал. D E Т A C еорема: Угол АВС, вершина которого лежит внутри круга , измеряется полусуммой дуг (АС и ДЕ), из которых одна заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон. Дано: Круг; <АВС – угол, вершина которого внутри круга. Доказать: <АВС = ( АС + ДЕ) Доказательство: Выполним дополнительное построение. Проведем хорду АД. Мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных: < АВС = < АДС + < ДАЕ. Но < АДС и < ДАЕ, как вписанные, измеряются половинами дуг (АС и ДЕ), на которые они опираются. < АВС = < АДС + < ДАЕ = ½ U АС +½ U ДЕ = ½ (АС +ДЕ). Доказали: <АВС = ( АС + ДЕ) B A D E C Теорема: Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью дуг (АС и ЕД ), заключенных между его сторонами. Дано: круг, < АВС – угол, вершина которого вне круга. Доказать: <АВС = ( U АС - U ДЕ) Доказательство: Проведя хорду АД, мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внутренним. Рассмотрим ∆АВД; <АДС – внешний. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных. < АДС = < АВС + < ДАЕ, отсюда <АВС = <АДС - <ДАЕ , но <АДС и < ДАЕ – вписанные и измеряются половинами дуг (АС и ДЕ) на которые они опираются. Имеем: <АВС = <АДС – <ДАЕ = ½ U АС – ½ U ДЕ = ½ (U АС – U ДЕ). Доказали: < АВС = ½ (U АС – U ДЕ). Задачи (дополнительный материал) Окружность разделена точками А,В,С и Д так,что U АВ : U ВС : U СД : U ДА= 2: 3 : 5 : 6. Проведены хорды АС и ВД, пересекающиеся в точке М. Определить < АМВ. Диаметр АВ и хорда СД пересекаются в точке М; < СМВ = 73⁰; UВС содержит 110⁰. Сколько градусов содержит U ВД? Хорды АВ и СД пересекаются в точке М; < АМС = 40⁰; U АД более U СВ на 20⁰54'. Определить U АД. Из концов дуги АВ, содержащей М⁰, проведены хорды АС и ВД так, что < ДМС, образуемый их пересечением, равен < ДНС, вписанному в U СД. Определить эту дугу. В четырехугольник АВСД углы В и Д прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40⁰, а со стороной АД – угол в 30⁰. Определить острый угол между диагоналями АС и ВД. Окружность разделена точками А, В, С и Д т ак, что UАВ : UВС : UСД : UДА = 3 : 2 : 13 : 7. Хорды АД и ВС продолжены до пересечения в точке М. Определить < АМВ? Дана окружность с хордой и касательной, причем точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом. Секущая АВС отсекает U ВС, содержащую 112⁰, касательная АД точкой касания Д делит эту дугу в отношении 7 : 9. Определить < ВАД. Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол полезно помнить следующее : тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180 к углу между радиусами, проведенными в точке касания. Из концов дуги в 200⁰30' проведены касательные до взаимного пересечения. Определить угол между ними. Описанный угол содержит 73⁰25'. Определить дуги, заключенные между его сторонами. Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Определить угол между касательными, проведенными из концов этой хорды. Внутри данной окружности помещается другая окружность. АВС и АДЕ – хорды большей окружности, касающейся в точках В и Д меньшей окружности; U ВМД – меньшая из дуг между точками касания; U СНЕ – дуга между концами хорд. Определить U СНЕ, если U ВМД содержит 130⁰ Внутри данной окружности находится другая окружность, САЕ и ДВК – две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках А и В; АМВ - меньшая из дуг между точками касания; U СНД и ЕРК – дуги между концами хорд. Сколько градусов содержит U СНД, если U АМВ содержит 154 и дуга ЕРК = 70⁰ ? A E D C D B C K E Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки деления проведены касательные. Определить больший угол в полученном треугольнике. АВ и АС – две хорды, образующие < ВАС в 72⁰24'. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Определить < ВМС. Определить величину описанного угла, если кратчайшее расстояние от его вершины до окружности равно радиусу. Дуга АВ содержит 40⁰24'. На продолжении радиуса ОА отложена часть АС, равная хорде АВ, и точка С соединена с В. Определить < АСВ. В треугольнике АВС угол С – прямой . Из центра О радиусом АС описана дуга АДЕ, пересекающая гипотенузу в точке Д, а катет СВ – в точке Е. Определить дуги АД и ДЕ, если < В = 37⁰24'. Задачи на доказательство Углы в окружности На окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны. Две окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать, что величина угла СВД не зависит от положения секущей. Около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д, а окружность в точке Е. Точки А и Е соединены отрезком прямой. Доказать, что треугольник АВЕ подобен треугольнику ВДС. АВ – диаметр окружности О, радиус ОС I АВ. Через середину Д радиуса ОС проведена хорда ЕК ⃦ АВ. Доказать, что угол АВЕ в два раза меньше угла СВЕ. Точка Д лежит на радиусе ОА; хорда ВДС I АО. Через точку С проведена касательная до пересечения с продолжением ОА в точке Е. Доказать, что прямая СА – биссектриса угла ВСЕ. Две равные окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать, что перпендикуляр из точки В на секущую СД делит ее пополам. В треугольнике АВС АА1 и ВВ1 – высоты. Доказать, что точки А, В, А1, и В1 лежат на одной окружности. Доказать, что геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, диаметр которой в два раза меньше диаметра данной. В треугольнике АВС сторона ВС меньше стороны ВА. Из В, как из центра, описана окружность радиусом ВС, которая пересекла сторону СА в точке Е и сторону ВА – в точке Д. Доказать, что угол ДЕА в два раза меньше угла АВС. В окружности проведены хорды АВ ⃦ ЕД и АС ⃦ КД. Доказать, что хорды АС и ВД параллельны. Две окружности внешне касаются. Через точку касания К проведены секущие АКВ и СКД (А и С на одной окружности). Доказать, что хорды АС и ВД параллельны. В круге проведены хорды МА > МВ > МС так, что МВ делит угол АМС пополам. К – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на МА. Л – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на продолжение МС. Доказать, что АК = СЛ. Через точку К окружности О проведены хорда КА и касательная ВС. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно к радиусу ОА, пересекает АК в точке М и ВС в точке Н. Доказать, что НК = НМ. На радиусе ОА окружности О, как на диаметре, построена другая окружность. Радиус ОС первой окружности пересекает вторую окружность в точке Е, а радиус ОД в точке К; СС1 ОД. Доказать, что отрезок СС1 равен хорде ЕК. Через середину Д гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведена прямая перпендикулярно к АВ, и на этой прямой отложены отрезки ДЕ = ДК =  АВ. Доказать, что СЕ и СК – биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине С. В треугольнике АВС угол В больше угла С. Точка К лежит на стороне АВ. Из точки К, как из центра, радиусом КВ описана окружность, которая пересекает ВС в точке М, и проведена прямая МК до пересечения с продолжением СА в точке Д. Доказать, что угол АДМ равен разности углов В и С. Доказать, что если через точку пересечения окружности с биссектрисой вписанного угла провести хорду, параллельную одной стороне угла, то она будет равна хорде, служащей другой стороне вписанного угла. Две окружности пересекаются в точках А и В, КА и КВ – хорды одной окружности, и продолжения их пересекают вторую окружность в точках С и Д. Доказать, что МН, касательная к окружности в точке К, параллельна хорде СД. В треугольнике АВС положение вершин В и С, а также величина угла А не меняются. Доказать, что геометрическое место ортоцентров – дуга сегмента, построенного на стороне ВС, вмещающая угол 180⁰ - < А . Стороны равных углов проходят через точки А и В, а вершины их лежат по одну сторону прямой АВ. Доказать, что биссектрисы этих углов пересекаются в одной точке. Точка Н – ортоцентр треугольника АВС. Доказать, что окружности АВН, ВСН, САН равны между собой. В квадрате АВСД из точки Д, как из центра, радиусом, равным стороне, проведена четверть окружности АС и на АД, как на диаметре, построена внутри квадрата полуокружность. Р – точка дуги АС. Прямая РД пересекает полуокружность АД в точке К. Доказать, что длина отрезка РК равна расстоянию от точки Р до стороны АВ. В треугольнике АВС: АА1, ВВ1 и СС1 – высоты и А2 , В2, С2 – середины высот. Доказать, что окружности А1 В2 С2, А2 В1 С2 , А2 В2 С1 – проходят через ортоцентр треугольника АВС и каждая из них проходит через середину одной из сторон. Через точку окружности проведены три хорды, и на каждой, как на диаметре, построены окружности. Доказать, что три точки пересечения построенных окружностей лежат на одной прямой.