Методика изучения темы «Уравнения с одной переменной» Анализ содержания программы по математике

Название	Методика изучения темы «Уравнения с одной переменной» Анализ содержания программы по математике
Дата	05.04.2016
Размер	97.67 Kb.
Тип	Документы

Методика изучения темы «Уравнения с одной переменной»

1. Анализ содержания программы по математике

Изучение темы «Уравнения с одной переменной» курса алгебры 7 класса входит в программу экзамена. Поэтому контроль знаний, умений и навыков учащихся очень важен при изучении данного раздела алгебры, от этого зависит успешность сдачи экзамена. Для того чтобы определиться с выбором форм проверки, необходимо выделить содержание контроля. Для начала необходимо сделать анализ программы, затем анализ содержания темы учебника, а затем, в соответствии с ним, выбрать формы и методы контроля.

В курсе алгебры в 7 классе содержатся задания теоретического и прикладного характера. Прикладная направленность курса обеспечивается систематическим обращением к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению практических задач.

Целью изучения этого курса является развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, основы информатики и вычислительной техники и другие), усвоение аппарата функций как основного средства математического моделирования, решение прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников.

В связи с этим программа курса математики предполагает следующее содержание по изучению линейных уравнений с одной переменной в 7 классе основной школы:

– Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.

– Решение текстовых задач методом составления уравнений.

В соответствии с программой требования к математической подготовке учащихся:

– понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;

– правильно употреблять термины «уравнение», «корень уравнения», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить уравнение»;

– решать линейные уравнения;

– решать текстовые задачи с использованием уравнений.

При организации учебного процесса следует опираться на тематическое планирование учебного материала, в котором разработано поурочное планирование, ориентированное на учебник алгебры 7 класса.

Анализ содержания тем, связанных с изучением уравнений позволяет продумать эффективный систематический контроль.

2. Уравнения с одной переменной

1). Уравнение и его корни

Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

2). Линейное уравнение с одной переменной

Уравнение вида ax = b , где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.

Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Свойство 1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение, равносильное данному.

Свойство 2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение, равносильное данному.

Принято: цифры в алгебраических выражениях заменять
первыми буквами латинского алфавита – a, b, c, …,
а переменные обозначать последними – x, y, z.

Сколько корней может иметь уравнение

?

Если a ≠ 0, b – любое значение, уравнение ax = b имеет один корень x = b : a;

a = 0, b ≠ 0 – ax = b не имеет корней;

a = 0, b = 0 –   ax = b имеет бесконечно много корней.

Например:

3x = 3, один корень   x = 3 : 3 x = 1;

0 · x = 5 корней нет;

0 · x = 0 бесконечно много корней:   x – любое число.

3. Примеры уранений и алгоритмы решения уравнений.

Пример 1. Решите уравнение: 4х = 32.

Решение.

Корнем уравнения является х = 8, так как 4·8 = 32 верное равенство.

Ответ: х = 8.

Пример 2. Решите уравнение

.

Решение.

Уравнение имеет два корня:

х + 5 = 2 или 2) х + 5 = – 2

х = – 3 х = 3

Ответ: – 3; 3.

Пример 3. Решите уравнение – 2(х + 6) = x + 6 .

Решение.

Шаг 1. Раскроем скобки: – 2х – 12 = х + 6.

Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую. При переносе через знак равенства, знак, стоящий перед соответствующим членом уравнения, меняется на противоположный:

– 2х – х = 6 + 12.

Шаг 3. Приведем подобные члены: – 3х = 18.

Шаг 4. Находим х: х = – 6.

Ответ: – 6.

Пример 4. Решите уравнение 2t – 3(2 – 6t) = 4(t + 6).

Решение.

Шаг 1. Раскроем скобки: 2t – 6 +18t = 4t +24.

Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую: 2t – 4t +18t = 24 + 6.

Шаг 3. Приведем подобные члены: 16t = 30.

Шаг 4. Находим неизвестное и записываем ответ:

.

Ответ:

.

Пример 5. Решите уравнение (7х – 2)(3 – 5х) =0.

Условие равенства нулю произведения: произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из этих выражений обращается в нуль, а другое при этом не теряет смысла.

В данном примере оба сомножителя определены для любого действительного числа х, т.е. при любом значении числа х ни один из сомножителей не теряет смысла, следовательно, равенство нулю произведения равносильно совокупности условий: либо один, либо другой сомножитель равен нулю. При увеличении числа сомножителей, соответственно увеличивается количество условий.

Решение.

7х – 2 = 0 или 3 – 5х =0;

или

.

Ответ:

.

Пример 6. Решите уравнение 0,5 (1 – 8х) – 1,5(6х – 3) = 3х –13.

Решение.

Шаг 1. Раскроем скобки: 0,5 – 4х – 9х + 4,5 = 3х – 13.

Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую: – 8х – 9х – 3х = – 13 – 4,5 – 0,5.

Шаг 3. Приведем подобные члены: – 18х = – 18.

Шаг 4. Находим неизвестное и записываем ответ: х = 1.

Ответ: 1.

Пример 7. Решите уравнение

– –

= 1.

Решение.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т. е. на число 28:

(

–

) · 28= 1·28;

· 28 –

· 28 = 28;

7(3х + 5) – 4(6х –2) = 28;

21х + 35 – 24х + 8 = 28;

– 3х = – 15;

х = 5.

Ответ: 5.

4. Решение задач с помощью уравнений

При решении задач с помощью уравнений необходимо следовать определенному алгоритму:

1) Обозначить некоторое неизвестное число буквой;

2) используя условие задачи, составить уравнение;

3) решить уравнение;

4) полученный результат привести в соответствие с условием задачи.

Пример 8. Периметр прямоугольника 28 см, причем одна из его сторон на 4 см больше, чем другая. Найти стороны и площадь прямоугольника.

Решение.

1) Пусть ширина прямоугольника х см, тогда его длина (х + 4) см.

2) Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 28 см, составим уравнение:

.

3) Решим уравнение:

.

Значит, ширина прямоугольника равна 5 см.

4) Зная ширину прямоугольника и зависимость длины от ширины, найдем сначала его вторую сторону, а затем и площадь.

х + 4 = 5 + 4 = 9 (см),

(см²).

Ответ: 9 см, 45 см².

Пример 9. Один арбуз на 5 кг легче, чем второй и в 3 раза легче, чем третий. Первый и третий вместе в 2 раза тяжелее, чем второй. Найти массу второго арбуза.

Решение.

Пусть первый арбуз весит х кг, тогда второй – (х + 5) кг, а третий – 3х кг.

2) По условию первый и третий в 2 раза тяжелее второго, составим и решим уравнение:

х + 3х = 2(х + 5),

4х = 2х + 10,

2х = 10;

х = 5.

Значит, 5 кг весит первый арбуз, 5 + 5 = 10 (кг) – второй, а 3×5 =15(кг) – третий арбуз.

Ответ: 5кг; 10 кг; 15 кг.

Пример 10. Катер преодолевает расстояние между пунктами А и В, двигаясь по течению, за 2 часа. На обратный путь он затрачивает 3 часа, двигаясь с той же скоростью. Какое расстояние преодолевает катер на маршруте, и какова его собственная скорость, если скорость течения 5 км/ч ?

Решение.

1) Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Тогда (х + 5) км/ч – скорость катера по течению, а (х – 5) км/ч – скорость катера против течения.

2) Учитывая время движения катера, составим уравнение:

.

3) Решим уравнение:

2х + 10 = 3х – 15;

х = 25.

Значит, 25 км/ч – собственная скорость катера.

4) (25 + 5)·2 = 60 (км) – расстояние, которое преодолевает катер на маршруте.

Ответ: 60 км, 25 км/ч.

Пример 11.

Из пунктов А и В навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста, мужчина и женщина. Скорость мужчины была на 3 км/ч больше. Через два часа они встретились, а еще через 3 часа женщина прибыла в пункт А.
Какое расстояние (S) между этими пунктами?

Решение.
1328265164_1

1) Пусть х км/ч – скорость женщины,

Тогда (х +3) км/ч – скорость мужчины.

Скорость сближения (их совместная скорость) – (2х + 3) км/ч,

2) Весь путь мужчина и женщина преодолели за 2 часа, а женщина на весь путь затратила 5 часов, учитывая это, составим уравнение:

.

3) Решим уравнение:

4х + 6 = 5х;

х = 6.

Значит, 6 км/ч – скорость женщины.

4) 6 + 3 = 9 (км/ч) – скорость мужчины.

Тогда расстояние между пунктами А и В:

6 · 5 = 30 (км).

Ответ: 30 км.

Пример 12. Отцу 42 года, а сыну 15 лет. Через сколько лет сын будет в два раза моложе отца?

Решение.
1) Пусть х – количество лет, через которое сын будет в два раза моложе отца.

2) Тогда можно составить уравнение:

42 + х = 2(15 + х).

3) Решим уравнение:

42 + х = 30 + 2х;

х =12.

Ответ: через 12 лет.

В некоторых случаях при решении задачи целесообразно составить таблицу.

Пример 13. В корзине яблок в 4 раза меньше, чем в ящике. После того как из ящика переложили в корзину 1,5 кг яблок, в корзине стало в 3 раза меньше яблок, чем в ящике. Сколько килограммов яблок было в корзине и ящике сначала?

Решим эту задачу, следуя алгоритму.

Внесем данные в таблицу:

	Было (кг)	Действия с предметами (кг)	Стало (кг)
Ящик	4х	4х – 1,5	4х – 1,5
Корзина	х	х + 1,5	3(х + 1,5)

Составим и решим уравнение:

4х – 1,5 = 3 (х + 1,5),

4х – 1,5 = 3х + 4,5,

4х – 3х = 4,5 + 1,5,
х = 6.
6 × 4 = 24 (кг).
Ответ: 24 кг и 6 кг.

Пример 14. С одной станции выехал поезд со скоростью 48 км/ч, а через 2 часа с другой станции навстречу ему вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Расстояние между станциями 528 км. Сколько времени в дороге был каждый поезд до встречи.

Составим к этой задаче таблицу:

	Время (ч)	Скорость (км/час)	Путь (км)
Поезд 1	на 2 ч больше, чем поезд 2	48	528
Поезд 2	х	60	528

Решение.
Какое расстояние прошел первый поезд за 2 часа?

48×2 = 96 (км).
Какое расстояние стало между поездами с момента выхода второго поезда?

528 – 96 = 432 (км).
До встречи они были в дороге одинаковое количество временами?
Обозначив это время за х, составим уравнение:
48х + 60х = 432,
108х = 432,
х = 4.
4 часа был в дороге второй поезд,

4 + 2 = 6 (ч) был в дороге первый поезд с момента своего выхода.
Ответ: 4 часа и 6 часов.