Белова Татьяна Александровна Астрахань, 2013 Жизнь похожа на урок
 Скачать 351.24 Kb.
|
| Реализация принципа практической направленности подготовки обучающихся на уроках математики в 5 – 9 классах Учитель математики МБОУ г. Астрахани «Гимназия №3» Белова Татьяна Александровна Астрахань, 2013 Жизнь похожа на урок математики. Как только вы решите одну задачу, учитель задает следующую. Цель математического обучения школьников определяется регламентированным государственным стандартом среднего полного образования. Основная задача, которая формулируется в этом стандарте, состоит в том, что современная школа должна подготовить к жизни выпускников школы. Это означает, что школьник в процессе обучения математике должен научиться применять приобретенные математические знания в конкретных ситуациях. Под конкретными ситуациями понимают такие ситуации, в которых человек может действовать в практической послешкольной жизни. Многолетняя практика преподавания математики в 5 - 9 классах позволила установить, что обучающиеся испытывают трудности при решении практически значимых математических задач. Эти трудности состоят в неумении обучающихся анализировать конкретные ситуации в текстовых задачах,в неумении планировать последовательность действий для достижения результата целей математических задач,в неумении выстраивать план своих действий. Об этом свидетельствует проведенный нами констатирующий эксперимент, суть которого заключается в следующем: учащимся предлагалось два типа заданий:
Пример задания: вы – социолог. Вам необходимо выяснить, какой процент обучающихся из СШ№1 и СШ№14 посещают спортивные секции в спортивной школе №7. Задания такого типа давали в разных классах. Участвовало в эксперименте 1020 учащихся. Результаты эксперимента показали, что обучающиеся , изучающие математику более 5 лет не могут применять свои знания в жизненных ситуациях. Мы видим, что цели государственного стандарта не реализовываются. Данные международного исследования образовательных достижений. PISA – международная программа оценки знаний и умений учащихся. В рамках этой программы в 2003 году проводилось исследование, основной целью которого является получение ответа на следующий ключевой вопрос: имеет ли возможность выпускник основной школы приобрести знания и умения для того, чтобы вполне успешно функционировать в современном обществе? Главное внимание направлено на проверку владения общими математическими понятиями, идеями и умениями, которые выделялись как существенные для дальнейшей жизни. Вопрос был не в том, сколько школьник знает по математике, а в том, насколько оперативно он сам выбирает нужный, иногда очень простой способ решения житейских, т.е. значимых для человека задач с применением математических знаний. Приведем примеры задач. 1. Мэри живет в двух километрах от школы, а Мартин в пяти. На каком расстоянии Мэри и Мартин живут друг от друга? 2. В некотором государстве национальный бюджет на оборону в 1980 году составил 30 млн. долл. Весь бюджет этого года равен 500 млн. В следующем году бюджет на оборону равен 35 млн., а весь бюджет – 605 млн. Инфляция за этот период составила 10%. Вас пригласили прочитать лекцию в военной академии. Вы намерены объяснить, что оборонный бюджет за это время увеличился. Объясните, как Вы это сделаете. 3. На графике показан средний рост девушек и юношей в Нидерландах в 1998 году. (Действительно, нарисованы графики двух функций, сопоставляющих каждому возрасту от 10 до 20 лет средний рост девушек и юношей такого возраста в некоторый момент 1998 года.) Вопрос: объясните, как можно по данному графику определить, что увеличение роста девушек в среднем замедляется после 12 лет. Правильный ответ: никак. Этот график почти ничего не говорит о том, как росли все эти девушки до 1998 года и совершенно ничего не говорит о том, как они будут расти после. В частности, он ничего не говорит о том, когда замедлили свой рост те из них, с которыми это уже произошло, и когда замедлят те, которым это еще предстоит. 4. Три путника решили перебраться на противоположный берег реки. У них есть лодка, которая рассчитана на одного человека. Каким образом им удалось это сделать? Правильный ответ: два путника находились с третьим на разных берегах реки. В соответствии с принятой в исследовании 1000-балльной оценочной шкалой все задания по математике были разделены на 6 уровней сложности. В заданиях самого низкого 1-го уровня предлагалась относительно знакомая проблемная ситуация, требующая интерпретации несложного текста, прямого применения хорошо известных математических знаний в знакомой ситуации. В заданиях, отвечающих средним уровням (3-му – 4-му) математической грамотности, от учащихся требовались интерпретация более сложной ситуации, построение цепочки рассуждений или выполнение последовательности вычислений, несложная аргументация выполненных действий. В заданиях, отвечающих более высоким уровням (5-му и 6-му) математической грамотности, требовалась интерпретация более сложной незнакомой ситуации. Соответственно необходимы были более сложные размышления, творческий подход для ее разрешения, самостоятельное составление математической модели предложенной ситуации, аргументация и создание соответствующего способа решения. Распределение (в %) учащихся России по уровням математической грамотности
Примечание: Оценка состояния математической грамотности ученика ниже 1-го уровня может означать не полную математическую безграмотность ученика, а неспособность успешно применить свои математические знания даже в самых простых ситуациях. Результаты решения российскими школьниками задач: Даже международное исследование подтвердило результаты проведенного нами констатирующего педагогического эксперимента. Таким образом, установлено противоречие между необходимостью практической направленности подготовки обучающихся по математике и невозможностью реализации этой необходимости при существующей методике обучения математике. Существование этого противоречия в настоящее время обуславливает актуальность исследования. Это позволило нам сформулировать тему исследования: «Реализация принципа практической направленности подготовки обучающихся на уроках математики в 5 – 9 классах». Объектом исследования является процесс обучения математике обучающихся в средней школе в современных условиях. Предметом исследования является реализация принципа практической направленности подготовки обучающихся в процессе обучения математике. Область применения: 5-9 классы. Теоретическая основа исследования. В качестве теоретической основы исследования взяты идеи психологов, основоположников деятельностного подхода (Н.Ф.Талызина, А.Н.Леонтьев и др.) о том, что каждый учебный предмет должен подготовить обучающихся к решению определенных типовых, практически значимых задач, которые должны войти в цели обучения. На этой основе нами сформулированы: цели , гипотеза и задачи исследования. Цели исследования:
Гипотеза исследования:
Цель исследования и проверка гипотезы потребовали решить следующие задачи:
Основное содержание работы. Под типовой задачей понимают – цель деятельности (часто повторяющуюся), данную в определенных условиях и требующую для своего достижения использования адекватных этим условиям средств. Поиск и применение этих средств (способов, действий, операций) составляют процесс решения задачи. Таким образом, типовая задача - это цель, которая многократно ставится человеком в определенных жизненных ситуациях. Исходная позиция исследования - неопределенность содержания принципа практической направленности подготовки у обучающихся при изучении математики в настоящее время: не выделены умения, которые потребуются выпускникам школы в будущей практической деятельности. Для конкретизации этих умений и методики формирования была найдена теоретическая идея, суть которой состоит в том, что каждый учебный предмет должен готовить обучаемых к решению определенных типовых задач. Для выделения умений, которыми должны овладеть обучающиеся, чтобы быть готовыми к жизни, была проделана следующая работа: 1) проанализированы сферы деятельности 26 профессий и выделены около 45 профессиональных задач, которые обобщены в 4 основных типа, каждый из которых имеет 4 подтипа. Типы задач выделялись по конечному продукту; 2) проанализировано большое число бытовых задач, решаемых с использованием математических знаний, и установлено, что они тоже относятся к этим же типам; 3) выделены обобщенные методы решения задач каждого типа. Проанализировав сферы деятельности 26 профессий, выделяем профессиональные задачи:
Лечение простуды. Препарат «Найз» назначают 1,5 мг на 1 кг массы тела 2-3 раза в день. Максимальная суточная доза не должна превышать 5 мг на 1кг. Рассчитать дозировку препарата для ребенка весом 24кг. Известно, что одна таблетка – 50мг, тогда 24*1,5=36мг. Препарат назначают 2 - 3 раза в день: 3*36=108мг. Значит, в день надо давать всего 2 таблетки. Т.к. предельно допустимая норма препарата 5*24=120мг в сутки.
Гуляш из мяса с картофелем готовится в столовой. На 500г мяса необходимо: 1кг картофеля, 2 головки лука, 1ст.л. муки, 3ст.л. томата – пюре, 3ст.л. масла, 100г сметаны. У повара в наличии 3200г мяса. Сколько нужно взять других продуктов? Расчет ведется таким образом:
Необходимо закупить 100 учебников по математике по цене 120 руб. за 1шт. В одном магазине за 100 учебников делают скидку 20%.В другом за 50 учебников - 10%, а за остальные 50 – 25%. В каком магазине выгодней купить учебники? В первом магазине:
Во втором магазине:
Ответ: в первом магазине купить учебники выгодней.
Для консервирования овощей необходимо 100г 10% уксуса. В доме имеется 70% раствор уксуса. Сколько нужно взять 70% раствора уксуса и сколько нужно взять воды? Составим таблицу.
0,7 * У = 10 У = 10 : 0,7 У = 14,3 (г.) – это почти ст.л. 70% раствора уксуса, т.к. 1ст.л. = 15г. Тогда воды надо взять: 100 – 14,3 = 85,7г.
Водитель автобуса «Астрахань – Газпром» везет рабочих. Скорость движения автобуса 42км/ч. Через 20минут после начала движения автобус попал в пробку, что задержало его на 15 минут. Сможет ли автобус прибыть вовремя, учитывая, что на дорогу по плану водитель тратит один час (допустимая скорость на дороге 60км/ч)?
28000: 25 = 1120( м/мин )= 1,12( км/мин )= 1,12 * 60 = 67,2 (км/ч) – недопустимая по правилам скорость движения.
Значит, автобус опоздает минимум на 3 минуты.
В хозяйстве у фермера 60 га земли. 24% земли необходимо засеять овсом, 35% - рожью, остальную часть пшеницей. Сколько га земли отводится под каждую из этих злаковых культур?
В аэропорту, где работает диспетчер, между каждой парой из 5 городов: Астрахань, Москва, Пермь, Сочи, Краснодар введено авиационное сообщение. Сколько появилось новых авиарейсов? АМ, АП, АС, АК, КА, СА, ПА, МА, ПМ, МП, ПС, СП, СК, КС – итого 14 авиарейсов (7 * 2 = 14).
Задача 1:Хозяева 4-х комнатной квартиры хотят покрасить каждую из комнат в 4 разных цвета: красный, желтый, зеленый, синий. Сколькими способами рабочие могут выбрать краску для каждой комнаты? 4 * 3 * 2 * 1 = 24( способа.) Задача 2: Необходимо обклеить потолок плиткой 50см х 50 см в три комнаты в квартире площадью 10 кв.м, 16 кв.м, 14 кв.м. Сколько необходимо закупить упаковок потолочных плит, если каждая упаковка рассчитана на 2 кв.м.?
Мастер имеет в своей бригаде 6 рабочих. 720 деталей его бригада изготавливает за 8 часов. Сколько нужно пригласить еще рабочих, чтобы изготовить тоже количество деталей за 5 часов (производительность труда каждого рабочего постоянна)?
Необходимо выбрать для своего предприятия компетентного юриста. Первый юрист из 11 дел выигрывает 7, второй юрист из 15 дел выигрывает 9. Кого лучше принять на работу? Вероятность выигрыша первого 7/11, вероятность выигрышей второго 9/15. Приводим к общему знаменателю дроби, чтобы их сравнить. 105/165 больше 99/165 Ответ первый юрист имеет больше шансов получить эту работу.
Известно, что из 500 приборов выпущенных заводом оказались с браком 15. Необходимо для отчета подсчитать, сколько % составляют бракованные приборы.
Необходимо рассчитать для больного правильное разведение напитка «Кофе со сливками». Для приготовления напитка кофе берут в три раза больше, чем сливок. Сколько кофе (1 ч.л. растворимого кофе на 150 г. воды) и сливок в стакане ёмкостью 200г.?
Ответ: необходимо 150 г. кофе (1 ч.л. растворимого кофе на 150 г. воды) и 50 г. сливок для приготовления данного диетического напитка.
За 20% проданного товара за 1 час супермаркет выручил 6400 рублей. Сколько % товара продаст супермаркет, если его выручка за час составит 27200 рублей?
Три автоматических линии выпустили за три часа работы 540 коробок конфет. Сколько коробок выпустят две такие линии за два часа?
В течение 5 дней проводились измерения температуры воздуха. Результаты изменения такие: 170, 190, 240, 220, 180. Какова средняя температура воздуха за эти дни? (17+19+24+22+18) : 5 = 200 – средняя температура за 5 дней.
Научный сотрудник, проводя исследования на пищевом предприятии, столкнулся с задачей следующего содержания: в первом сосуде содержится 1л 20% раствора соли, во втором – 1,5л 40% раствора соли. Каково процентное содержание соли в смеси этих растворов?
Проводилось голосование в школе среди учащихся об отмене школьной формы. С учетом того, что в школе 1500 учащихся, из них 37 по уважительной причине отсутствовали, за форму проголосовало 595 учащихся, против – 680, остальные – воздержались. Необходимо выяснить, сколько % учащихся проголосовало за форму и сколько против неё?
Сплав состоит на 85 % из меди, 10% из алюминия и 5% из олова. Сколько меди в слитке такого сплава, если алюминия в нем на 60 г. больше, чем олова?
Адвокат обратился в суд с иском о взыскании % с покупателя, вовремя не вернувшего долг в размере 25200 рублей продавцу. Статья 395 «Гражданского кодекса» гласит: если должник не возвращает вовремя долг, то на долг начисляется процентная ставка рефинансирования (единая для всех). На данный момент 13% годовых. Срок отдачи долга истек 3,5 месяца назад. Необходимо начислить %.
До половины пути полет самолета идет строго по графику и по намеченному маршруту. Затем возникает экстремальная ситуация: отказ генератора переменного тока и необходимость изменить план полета. Аккумулятор может обеспечить радиосвязь только в течение ограниченного времени, в идеальных условиях в распоряжении пилота не более 50 минут. Вы на высоте 8000 футов восточнее перекрестка Грумпа, сейчас 11.23 и Вы в полете 1 час 23 минуты. Ветер с юго-запада со скоростью 30 узлов”. Наступает момент, когда пилот должен применить свои способности решать задачи. Решение заключается в ранжировании 16 аэропортов по принципу от “наиболее предпочитаемого к наименее предпочитаемому” в зависимости от их характеристик. Каждый аэропорт характеризовался четырьмя признаками: а) наличие средств УВД, б) время полета до аэропорта, в) погодные условия, г) оборудование. Так как число вариантов, которые должен был рассмотреть пилот, резко возрастало в зависимости от числа признаков этих характеристик (а, б, в, г), то таких признаков было введено только 2 (+,-). Выбранные признаки ортогональны по отношению друг к другу и наиболее вероятны в таких ситуациях. По данным, полученным после ранжирования можно построить функцию ценности: W(Z) = (BATC >< XATC) + (BWR >< XWR) + (BTIM >< XTIM) + (BAPP >< XAPP) где XATC, XWR, XTIM, XAPP — независимые переменные, описывающие аэропорт Z через показатели УВД, погоды, удаления, оборудования посадки, а BATC, BWX, BTIM, BAPP — соответствующие коэффициенты.
Главной задачей штурмана всегда было ориентирование на местности. Штурману необходимо контролировать пройденные на ралли расстояния. Используя секундомер, штурман рассчитывает текущую и среднюю скорость движения на участке и некоторые другие параметры. Известно, что за 5 секунд гоночный автомобиль проехал 137 метров.Какова средняя скорость автомобиля? : 137:5*60=1644(м/мин)=1644*60:1000=98,64 9(км/ч )средняя скорость автомобиля.
Необходимо подсчитать налог на доходы физических лиц. Зарплата работника 10000 рублей. У работника есть 2 детей в возрасте до 18 лет, один из которых инвалид 1 группы. Подсчитать сумму подоходного налога с зарплаты по итогам года. Расчет:
600*4=2400( руб.)
На хозяйственном складе необходимо провести 20% наценку на товар:
Прошло 2 месяца. Товар уценили, в зависимости от дефекта или потери товарного вида.
На сколько процентов уценили каждый товар?
На Газпром поступил заказ от трех предприятий на покупку серы. 1 заказчик – на 1000 т. серы, 2 заказчик - на 720 т. серы, 3 заказчик – на 200 т. серы. К концу месяца отправлено соответственно 60%, 80%, 75% заказа. Получена предоплата от заказчиков: от 1- 10%, от 2 – 5%, от 3 – 20% от общей стоимости отправленного товара. Сколько денег поступило в кассу Газпрома, если цена 1т. серы составляет 6800 рублей? На какую сумму был отправлен товар? Расчет:
2 заказчику 720*0,8=576(т.) 3 заказчику 200*0,75=150(т.)
600*6800=4080000( руб.) 1 заказчику 576*6800=3916800 (руб.) 2 заказчику 150*6800=1020000( руб.) 3 заказчику
3916800*0,05=195840( руб.)поступило от 2 заказчика 1020000*0,2=204000( руб.) поступило от 3 заказчика.
При ширине ткани 150 см. на обшивку 1 автомобильного кресла необходимо от 150 см. до 200 см. ткани, в зависимости от класса автомобиля и от формы сиденья. Рассчитать минимальный и максимальный расход ткани на обшивку двух передних сидений и одного заднего. Если на обшивку переднего посадочного места расходуется ткани на 20% больше, чем на обшивку заднего посадочного места. Сколько потребуется ткани для обтяжки трех салонов автомобилей и какова экономия ткани? Расчет:
В центральном офисе предприятия 70 кабинетов с одинаковым количеством ламп. В каждом кабинете – 15 ламп дневного освещения мощностью 80 вт. Сколько необходимо заплатить денег за свет, если в течение 2 часов будут включены все лампы во всех кабинетах. Стоимость 1 квт/ч 1,52 рубля. Расчет: 80*15=1200( вт) в одном кабинете. 1200*2=2400 (вт)за 2 часа в одном кабинете. 2400*70=168000 (вт )= 168( квт) в час в 70 кабинетах. 168*1,52=255,36 (руб.) заплатит предприятие за 2 часа эксплуатации ламп в кабинетах. Анализ полученных данных дает возможность выделить типовые задачи, решаемые человеком в жизни:
Выделим обобщенные методы решения задач каждого типа.
Существует три типа задач на проценты. Чаще всего на практике встречаются задачи смешанного типа. Поэтому в любой задаче данного типа лучше всего перевести проценты в десятичные дроби. Найти сначала 1%, а затем по сюжету решать задачу с помощью пропорции или с помощью уравнения, или по действиям. Помнить, что если некоторая величина в процессе решения задачи изменяется, то и 1% от этой величины тоже меняется. Среди задач на проценты чаще всего встречаются задачи на сплавы, смеси, расчет процентов от вкладов в банк в течение некоторого времени, повышение и понижение цен на товары и т.д.
Задачи такого типа решаются уравнением, обозначая величину одной части за х или составлением графической модели, диаграммы, или вычисляя общее число частей и значение одной части. Затем отвечают на вопрос задачи. Если задача на прямую пропорциональность или обратную пропорциональность, то определяется тип этой задачи и составляется пропорция.
Для успешного решения задач на движение, стоимость, совместную работу, площадь фигуры и т.д. очень важно грамотно записать условие задачи, лучше всего в виде таблицы или графической модели, четко выделив исходные данные. Затем составить математическую модель задачи. Работать с этой моделью (непосредственное решение). Проанализировать полученный результат.
Задачи такого типа решаются перебором вариантов, составлением рисунков (деревья вариантов), с использованием определенных формул , правил, опираясь на здравый смысл и жизненный опыт учащихся. Учащиеся, владеющие обобщенными методами решения типовых задач, при соответствующем обучении смогут грамотно решать любые практически значимые задачи с использованием математических знаний. Но одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком решающий задачу со способами решения задач такого типа или нет. Конечно, при изучении математики необходимо больше внимания уделять задачам всех перечисленных типов. Но нельзя забывать о том, что в жизни перед человеком часто возникают и нестандартные задачи, требующие быстрого, творческого решения. Какая же задача называется нестандартной? «Нестан дартные задачи — это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» (Фрид манЛ.М., ТурецкийЕ.Н. «Как научиться решать задачи»). Однако следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком решающий задачу со способами решения задач такого типа или нет. Таким образом, нестандартная задача — это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. К сожалению, иногда учителя единственным способом обучения решению задач считают показ способов решения определенных видов задач, после чего следует порой изнурительная практика по овладению ими. Нельзя не согласиться с мнением известного американского математика и методиста Д. Пойа, что, если преподаватель математики «заполнит отведенное ему учебное время натаскиванию учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности». Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат задачи практического содержания. На уроке невозможно рассмотреть все виды математических задач. И сколько бы задач ни решали в школе, всё равно учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач. Поэтому учитель должен вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач, практического содержания. Должен развивать у учащихся способность находить пути решения, не подходящие под стандартное правило. Рассмотрев классификацию задач по характеру условия – определённые, неопределённые и переопределённые (М. Крутецкий "Психология математических способностей школьников") можно выделить подтипы данных типовых задач: 1. Задачи с несформированным условием – задачи, в которых имеются все данные, но вопрос задачи лишь подразумевается. 2. Задачи с избыточным условием – задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения задачи данные. 3. Задачи с неполным составом условия – задачи, в которых отсутствуют некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным. 4. Задачи с противоречивым условием – задачи, содержащие в условии противоречие между данными. Задачи из рассматриваемой классификации полезны тем, что: они не обладают алгоритмичностью решения, они активизируют умственную деятельность учащихся, заставляют их искать нестандартные подходы к решению задач. Мы выделяем метод, который успешно действует при решении каждой типовой задачи любого ее подтипа. Этот метод заключается в следующем: Сформулируем новое содержание принципа практической направленности подготовки обучающихся при изучении математики: в процессе изучения математики обучающиеся должны овладеть обобщенными методами решения задач выделенных типов. Методика реализации принципа практической направленности подготовки обучающихся на уроках математики. Одна из причин отставания или неуспеваемости по математике связана с отсутствием доступных и убедительных примеров применения математических знаний в будущей профессиональной деятельности. В начале года предложить учащимся ответить на вопросы:
А в конце учебного года провести урок-дискуссию на тему «Кому нужна математика?» (анализируя результаты нулевого, контрольного и итогового срезов по всем предметам, результаты анкетирования учащихся, родителей и учителей). Чтобы достичь реализации принципа практической направленности подготовки обучающихся на уроках математики учителю необходимо:
Модель деятельности учителя по реализации принципа практической направленности подготовки обучающихся при изучении математики. Теперь рассмотрим подтипы данных типовых задач более подробно, чтобы определить, что конкретно требуется от ученика при решении каждого из них.
Примеры: 1. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти длину третьей стороны. 2. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м? 3. Заасфальтировали на 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов дороги покрыто асфальтом? С первого взгляда ясно, что задача 1 не может иметь решения, потому что в ней не хватает данных. Однако исследуем ситуацию глубже. Вспомним неравенство треугольника и запишем его для данного треугольника, обозначив неизвестную сторону через а. Получим: 10 + 8 > a; a + 10 > 8; a + 8 > 10; из этого следует, что 2 < a < 18. Таким образом, нам удалось уточнить ответ с фразы "задачу невозможно решить" до вполне определённого интервала, что следует признать ответом более высокого уровня. И во второй задаче напрашивается вывод, что никакой ответ там невозможен, поскольку данных не хватает. Но при более внимательном анализе условия выявляется, что не любое число может получиться в ответе. Например, невозможны ответы 333м и 250м, хотя и по разным причинам. Первое невозможно, потому что ответ должен быть кратным 25 м. А второе невозможно, т.к. общее количество тяговых единиц не может быть равным десяти. Сколько же этих единиц там может быть? Если в поезде х цистерн, то платформ х+4, а вагонов х+8. Вместе: 3х+12. Таким образом, всех тяговых единиц не меньше пятнадцати, а возможный ответ: 25(3х+12) м, где х – натуральное число. Над "дизайном" ответа можно поработать, если переписать его так: 75(х+4). А теперь, переобозначив буквой х (или другой) количество платформ, получим самый короткий вариант ответа: 75х м, где х – натуральное число, не меньшее пяти. Такое решение требует более высокого уровня умственной деятельности, чем примитивное "Задача не имеет решения, потому что данных не хватает". И, разумеется, что указанного решения от школьников сразу не получишь, что и подтвердили первые пробы со стопроцентным результатом. Третья задача: результат тот же: "Задача не решается...". Только дополнительная просьба назвать несколько возможных ответов подтолкнула учеников к анализу и в конце концов вывела на ответ, близкий к правильному: х %, где х (50;100]. Вывод: решение неопределённой задачи обычно заканчивается неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значения из некоего числового множества. Выявление этого множества и должно стать целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста задачи и взаимосвязей между данными величинами. Этому полезному для умственного развития учащихся процессу нужно специально обучать. Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче "между строк" условия.
Как уже показано выше, данные в таких задачах могут быть противоречивыми и выявление этой противоречивости или непротиворечивости является обязательным элементом решения такой задачи. Например, в задаче "Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см и гипотенузой 41 см" мало найти ответ полупроизведением 9 на 40. Надо ещё выявить, будет ли у прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см гипотенуза равной 41 см. Без этого выяснения решение задачи не может быть признано полным. Большой интерес представляют практические задачи. Например, при изучении первой формулы площади треугольника приносим в класс , вырезанный из бумаги треугольник с проведенными высотами и предлагаем одному из учащихся измерить длину какой–либо стороны, потом второму ученику длину второй стороны, третьему – третьей, ещё трое измеряют высоты, каждый по одной. Результаты измерений записываются на доске. Затем предлагаем вычислить площадь этого треугольника. Вопрос, какая высота к какой стороне проведена, переадресуем учащимся, которые измеряли, но те, естественно, не помнят, поскольку не фиксировали на этом внимания. Возникает интересная проблема, которая в итоге всё же разрешается, исходя из того, что площадь одного и того же треугольника не может иметь разных значений. Поэтому самая большая высота должна быть проведена к самой маленькой стороне, а самая маленькая к самой большой. Теперь площадь треугольника можно вычислять тремя способами, но результат, как выясняется, получается не совсем одинаковым. Появляется причина поговорить о сущности измерений, об их обязательной неточности, о качестве приближённых измерений, об особенностях вычислений с приближёнными числами и других соответствующих вопросах. И элементарная задача на применение примитивной формулы наполняется богатым содержанием. Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие, находить в нём нужные данные и отбрасывать ненужные.
Пример: Найти площадь треугольника со сторонами 10 см, 19 см и 8 см. Вовсе необязательно решать приведенную задачу, чтобы понять, что она не имеет решения. Достаточно лишь проверить условие на противоречивость при помощи неравенства треугольника и убедиться, что задача не может иметь решения. При решении таких задач необходимо всегда в конце возвращаться к условию и делать проверку полученного решения. А поскольку противоречивость задачи не всегда бросается в глаза, это приучит выполнять проверку полученного ответа в каждой задаче. Некоторые из задач этого типа позволяют выявить противоречие данных еще при анализе условия, в результате чего процесс решения становится излишним. Итак, мы выяснили, что каждый из указанных подтипов данных типовых задач несёт в себе определённую развивающую функцию. Как же научить учащихся решать задачи указанных типов? Как приучить их к "нестандартному" подходу к решению задачи? Основой для ответа на поставленный вопрос можно считать основные вопросы, над которыми следует задумываться при решении:
Каким должен быть возможный методический подход к обучению учащихся решению таких задач?
То же самое следует отметить и о применении задач переопределённых, корректных, но вызывающих противоречие при решении. Использование этого методического подхода позволяет превратить любую стандартную задачу в нестандартную. Это способствует выработке более сложных умений, значение которых для реализации принципа практической направленности, а также формирования творческих способностей обучающихся очень велико. Успех этой перестройки непосредственно зависит от того, в какой мере обучающиеся умеют анализировать задачи, улавливая одновременно и сходное и различное. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, можно учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями, и делать соответствующие выводы. Необходимо, как мы считаем, прививать учащимся прочные навыки творческого мышления. Мы предложили ученикам 6 класса ( в классе 25 человек) на самостоятельной работе в качестве дополнительного задания решить задачу: в прямоугольнике стороны равны 8,4см и 3,9см, а периметр 24,6см. Найти площадь прямоугольника. При решении этой задачи в классе выделилось несколько групп: 1. не решили задачу, мотивировав это тем, что не успели этого сделать (2 ученика); 2. решили эту задачу полностью с объяснением того, почему они не использовали при решении задачи данный в ней периметр, но не проверили, соответствует ли данная длина периметра длинам сторон (2 ученика); 3. 1 ученик решил эту задачу полностью и проверил соответствие в ней данных друг другу, но при этом возился с решением около 10 минут; 4. остальные ученики просто написали ответ к задаче, без каких бы то ни было объяснений к нему. На следующем уроке класс изъявил желание узнать, как же правильно решается эта задача. Им было подробно объяснено, что периметр в задаче является лишним данным и его не нужно использовать для решения, но в данной ситуации длины сторон в задаче соответствуют периметру, что бывает не всегда и требует проверки. После чего была предложена для решения задача аналогичного характера, но содержащая противоречие в тексте: в прямоугольнике длины сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти периметр прямоугольника. Как и ожидалось, все 25 учащихся решили эту задачу без использования площади и записали ответ. Все посчитали, что площадь в задаче является лишним данным, но никто не счёл нужным проверить, соответствуют ли данные друг другу. Учащиеся с большим интересом стали относиться к "не таким" (их определение) задачам. Мы предлагаем ученикам выполнять творческие задания: сочинять нестандартные задачи, практического содержания. Происходит "шлифовка" мышления, его тренаж, что вполне соответствует запросам растущего организма. При целенаправленном использовании переопределённых задач ученики довольно быстро приучаются анализировать условие задачи, но в первое время всё же делают довольно грубые ошибки в решении, которые объясняются их неумением проводить такой анализ. При решении задач переопределённых, но имеющих в условии противоречие, ученики после небольшой тренировки находят очевидные или слабо скрытые противоречия, но, если противоречие как-то завуалировано, не замечают его и просто игнорируют вместо того, чтобы вернуться к условию задачи и проверить решение. Предложенная методика, позволяет учителю обучить учащихся умению самостоятельно решать любые практически значимые задачи с использованием математических знаний. Теоретическая значимость проведенного исследования состоит в том, то разработана реализация принципа практической направленности подготовки обучающихся при изучении математики на современном этапе, которую составляют следующие положения: 1. В цели обучения математике должны быть включены типовые задачи, решаемые с использованием математических знаний, и обобщенные методы их решения. 2. В процессе изучения математики обучающиеся должны овладеть обобщенными методами решения типовых задач, решаемых с использованием математических знаний, и научиться планировать свою деятельность при решении конкретных практически значимых задач с опорой на обобщенные методы. 3. Учебный процесс должен строиться так, чтобы у обучающихся возникла потребность решать типовую задачу. 4. Для осмысления содержания обобщенного метода решения типовой задачи он должен быть выделен самими обучающимися, т.е. его выделение должно быть целью их деятельности. 5. Содержание обобщенного метода решения типовой задачи обязательно должно стать предметом усвоения, и для того, чтобы он был усвоен, целесообразна методика, опирающаяся на теорию поэтапного формирования умственных действий. 6. После усвоения обобщенного метода решения типовой задачи, обучающиеся должны научиться пользоваться обобщенным методом разработки системы действий по решению конкретной задачи данного типа. Тренировка в этом должна привести к тому, что обобщенный метод решения задач данного типа станет стилем мышления учащихся. Методика подготовки обучающихся к решению практически значимых задач. Методика подготовки обучающихся к решению практически значимых задач должна состоять из следующих этапов: I – мотивационный этап. Он необходим для того, чтобы каждый обучающийся ощутил потребность в овладении методом. II – подготовительный этап. На этом этапе обучающиеся решают конкретные задачи определенного типа для того, чтобы произошло накопление методов решения задач одного и того же типа. Это создает условия для самостоятельного выделения обучающимся обобщенного метода решения задач данного типа. III – методологический этап, на котором происходит выделение и усвоение обобщенного метода. IV этап - этап обучения обучающихся составлению метода решения конкретной задачи с опорой на обобщенный метод. V этап - полностью самостоятельное решение конкретных практически значимых задач. Данная методика может быть реализована при следующих условиях: один и тот же тип задач должен решаться в 4-х следующих друг за другом темах. Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанные ориентиры для выполнения всех видов деятельности, входящих в модель деятельности учителя по реализации принципа практической направленности, позволяют любому учителю после соответствующей подготовки успешно организовывать обучение учащихся обобщенным методам решения типовых задач по любым программам и учебникам. Экспериментальная проверка работы модели деятельности учителя и методики обучения учащихся подтвердила устойчивый положительный рост качества знаний обучающихся по математике. О положительных успехах работы свидетельствует общая успеваемость по предмету - 100%; рост среднего балла; призовые места, занимаемые учениками на школьных, районных, городских, международных олимпиадах; наблюдается устойчивая динамика роста мотивации к изучению предмета. Список литературы
|