Нестандартные способы решения примеров и задач Сулейманов Ринат Аксубаевский р н пос. Мюд, мбоу «Старомокшинская средняя общеобразовательная школа им. В. Ф. Тарасова»
 Скачать 169.71 Kb. |
| Нестандартные способы решения примеров и задач Сулейманов Ринат Аксубаевский р - н пос.МЮД, МБОУ «Старомокшинская средняя общеобразовательная школа им. В.Ф.Тарасова», 6 класс Научный руководитель: Зайцева Г.Г. Оглавление 1. Введение - 3 2. Глава 1. Исторические сведения 1.1. О математических знаниях древних тюрков - 4 1.2. О математических знаниях других народов - 5 3. Глава II. Нестандартные способы решения примеров и задач 2.1. Удвоение - 6 2.2. Раздвоение - 6 2.3. Сложение -7 2.4. Вычитание - 7 2.5. Правило проверки действий сложения и вычитания - 7 2.6. Умножение и деление - 8 3. Заключение - 13 4. Список использованной литературы - 14 Введение. В последние годы возрос интерес к народной педагогике с её традициями и обычаями, к историческому наследию наших предков. В результате недостаточности учебного времени и желания учителя уделить больше внимания закреплению учебного материала, приводит к тому, что историко-математические сведения почти не излагаются на уроках математики. Ознакомление же учащихся с материалом из истории математики и плодами народного творчества позволяет включить в урок элемент занимательности и развлекательности. Меня заинтересовал вопрос о том, как шло развитие математики у тюрко-татарского народа, что осталось в современной математике от тех далеких времен. Нестандартные, в нашем понимании, способы решения примеров и задач имели место в дореволюционных мусульманских и русских школах на территории Татарстана. Они, на мой взгляд, представляют интерес для современных учеников. Можно почувствовать разницу в том, когда было легче выполнять математические действия. Это и определило выбор темы моего исследования. Проблема исследования состоит в том, как на уроках математики приобщать учащихся к традициям татарского народа, ведь школа у нас многонациональная и большинство составляют чуваши. Актуальность исследования вызвана необходимостью исследования формирования математических знаний татарского народа и тем, что эта проблема недостаточно разработана. Объект исследования: старинные методы и способы математических вычислений. Предмет исследования: потенциал использования элементов татарской народной педагогики в математическом образовании учащихся. Цель исследования: выявить особенности развития математических знаний в татарской народной педагогике и возможности ее использования в процессе математического образования учащихся. Были поставлены следующие задачи: 1.Определить потенциал татарской народной педагогики в математическом образовании учащихся. 2. Изучить старинные методы и способы математических вычислений. Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: 1. историко-сравнительный метод исследования достижений татарской, русской и зарубежной математической науки; 2. анкетирование; 3. наблюдение. Глава I. 1.1. Насколько изучены математические представления арабов и персов (они нашли своё отражение и в Коране), настолько они остаются малоизученными у тюрко-татарского народа. Ещё Я.А. Коменский, И.Г. Песталлоци, К.Д. Ушинский и др. педагоги прошлого признавали, что математические знания играют первичную роль в умственном развитии и воспитании детей, а М.В. Ломоносов говорил: «Математику уже за то любить надо, что она ум в порядок приводит». Использование историко-математического материала на занятиях по математике, физике и природоведению способствует повышению их эффективности. Историко-математические сведения хорошо запоминаются, запоминается, следовательно, и история развития математики, формирование её основных идей и методов. Многие учёные рекомендуют применять исторический подход в преподавании учебного материала. Педагогическое наследие тюрко-татарского народа имеет богатую многовековую историю. Как показывают исследования, оно берет начало еще с X-XI веков, на сегодняшний день, практически еще не освоено современной наукой. Ценные мысли татарского народа о воспитании и образовании молодого поколения веками оказывали и продолжают оказывать свое влияние на миллионы людей. Это ценнейшее наследие пока еще остается закрытым для широкого круга читателей. Недостаточность письменных источников по истории Казанского ханства не дает возможности подробно описать развитие образования. Сохранились лишь отдельные сведения о развитии науки. До наших дней дошел большой рукописный математический трактат «Сборник правил» Мухутдина Мухаммеда сына хаджи Атмаджи (1542 г.). Он долгое время использовался как учебник в казанских медресе и свидетельствует о высоком развитии математического образования в Казанском ханстве. Известны трактаты по географии, этнографии, истории, большое количество литературных произведений и несколько ханских грамот (ярлыков). Татарское национальное образование имеет давнюю историю и традиции. Еще в период древнетюркских государств (VI в.) существовала система передачи знании «Учитель – ученик».Появившиеся с IX в. в мусульманских странах медресе являлись высшими и средними религиозными учебными заведениями. Они находились обычно в столице и крупных городах. О том же говорят сведения об ученых восточных стран, получивших образование в Волжской Болгарии. Мы не располагаем в подробностях сведениями о программе, форме обучения и о предметах, включенных в учебную программу. Но, очевидно, они в основных чертах не отличались от подобных учебных заведений в других мусульманских странах того времени. Главное внимание уделялось изучению богословия, обучение велось методом толкования Корана (тадрис) и частично диктованием (имла). В медресе ученики получали не только религиозные, но и светские знания. Изучались элементы некоторых других наук. Например, арифметика, на основе которой строилось дальнейшее математическое образование. Она была необходима для торговых расчетов, раздела имущества. Арифметика была риторической, знаки действий и искомые величины обозначались в словесной форме . Геометрия была собранием некоторых правил для решения задач практического характера. Как учебные пособия применялись и самостоятельные источники, и рукописные трактаты среднеазиатских ученых-математиков (аль-Хорезми, Ибн-Сина и др.). Происходил активный процесс накопления народной математики, основанной на его знаниях и опыте по измерениям, исчислению времени, денежным расчетам. 1.2. До появления цифр или букв, используемых как цифры, люди считали на пальцах или с помощью камней, раковин, зарубок, узлов. Понятие считать - calculare по-латыни (откуда современные слова калькулировать, калькулятор), произошло от латинского же слова calaulus, камешек. Единицы измерения длины на первых порах возникли из сопоставления измеряемой длины с частями тела, которыми ее измеряли. Примеры - локоть, стопа, сажень (расстояние между кончиками пальцев рук, вытянутых на ширину плеч), дюйм (по-немецки большой палец), фут (по-английски нога) и так далее. Сложение и вычитание на протяжение очень долгого времени были единственными доступными математическими действиями. Затем освоили умножение, которое, по сути, было просто удвоением и дальнейшим сложением. Потребность в умножении появилась в связи с необходимостью вычисления площадей. У египтян и вавилонян умножение называлось «а-ша», это же слово означает площадь. Арабы в средневековых математических сочинениях умножение называют « сатх », а это то же самое, что и поверхность (прямоугольника). В Египте система счета была десятичной, числовые знаки имелись только для единицы (горизонтальная черта, образ мерной палки), десяти (иероглиф, изображающий путы), сотни (измерительная веревка), тысячи (цветок лотоса), десяти тысяч (указательный палец), ста тысяч (головастик), миллиона (удивленный человечек) и десяти миллионов (солнце; мы здесь даже вспоминать не хотим некоего Марко Поло, который «первым» принес в Европу из средневекового Китая понятие миллиона). Повторяя эти знаки, египтяне выражали все остальные числа. При строительстве пирамид старались вырезать блоки, измеряемые целым числом локтей, чтобы не пользоваться дробями, но в земледелии этого избегать не удавалось. Знали два арифметических действия, сложить (иероглиф: две ноги, идущие налево) и вычесть (две ноги, идущие направо). Умножали с помощью табличек, путем последовательных удвоений. Например, надо умножить 15 на 13. 1 15 2 30 4 60 8 120 Нужно выбрать множители, сумма которых равна 13. Мы их подчеркнули. Если теперь сложить результаты при подчеркнутых множителях, получится 195. В самом деле, 15х13=195. По той же схеме производили и деление. Например, 195 надо разделить на 15. Пишем табличку удвоений пятнадцати, затем складываем правые числа, чтобы получилось 195. Сумма левых чисел выбранных строчек даст ответ = 13. Отметим, что такое «древнеегипетское» удвоение и деление пополам, как особые арифметические действия, сохранялись в европейских школьных учебниках еще и в XVII веке. Понятие 1/2 и 1/4 возникли в практике людей довольно рано, но не как дроби, а как самостоятельные категории половины, четверти. Дроби типа целого числа с половиной образовывались как разность между следующим целым числом и половиной: 21/2 называлась полтретья. Обратите внимание, в русском языке половина и два - слова разного корня. А когда нас спрашивают, который час, мы отвечаем полтретьего. В последнее время появляются новые исследования, посвященные истории развития математики и математического образования в различных регионах России. Они выполнены, например, в Казани (В.М. Беркутов , Л.Р. Шакирова ), Калуге (Ю.А. Дробышев), Москве (К.К. Рыбников ), Ростове-на-Дону (Т.С. Полякова), Твери (С.Ю. Щербакова ), Чебоксарах (Н.И. Мерлина ) и др. Глава II. 2.1. Удвоение. Удвоением называют увеличение числа вдвое или умножение его на два. Удвоение бывает двух видов: удвоение справа – прямое и удвоение слева – обратное. Правило удвоения справа – в числе, начиная с низших разрядов, цифру первого разряда увеличиваем вдвое. Если результат не превышает число 10, то записываем на том же месте, если результат превышает 10 или равен 10, то единицы подписываем под увеличенным вдвое числом, а десятку под соседним слева разрядом и складываем с ним, а результат записываем под проведенной чертой. Так продолжаем делать до тех пор, пока не достигнем конечного разряда и само число не удвоится. Справа налево Слева направо 6 0 7 5 3 2 6 0 7 5 3 2 2 0 4 0 6 4 промежуточные 2 0 4 0 6 4 1 1 1 действия 1 1 1____ 1 2 1 5 0 6 4 1 2 1 5 0 6 4 2.2. Раздвоение. Раздвоением называют уменьшение числа на половину или деление на две части: справа - прямое, слева – обратное. Данное число начинаем раздваивать с низших разрядов. Если цифра делится на две части (четная), то результат записываем на том же месте. Если цифра нечетная, то ее уменьшаем на единицу и делим пополам, в месте уменьшенной единицы записываем под меньшим разрядом 5 и складываем. Если в разряде имеем 1, то разделив, на место пишут 0, а 5 под меньшим разрядом. То же самое делаем с остальными разрядами. 7 0 5 2 1 4 3 0 2 1 0 2 промежуточные + 5 5 5 действия 3 5 2 6 0 7 2.3. Сложение. Правило сложения – справа налево сверху вниз. Числа записываем как мы делаем сейчас: единицы под единицами, десятки под десятками и т.д. Затем проводим черту и складываем сверху вниз, а результат подписываем ниже черты под тем же разрядом. Если при сложении сумма цифр какого-либо разряда начиная со второго вертикального столбца больше или равна 10, то единицы этого числа подписываем под соответствующим разрядом, а десятки под соседним слева разрядом, который складываем потом и общий результат записываем под другой чертой. 6 4 3 5 2 7 6 2 5 9 1 4 1 4 6 8 4 3 1 промежуточные + 1 1 действия 1 4 6 9 4 4 1 2.4. Вычитание. «Тарх»- по арабски. Правило – справа налево. 7 6 4 2 3 уменьшаемое число 5 4 6 5 2 вычитаемое число 2 2 8 7 1 промежуточные - 1 1 действия 2 1 7 7 1 2.5. Правило проверки действий сложения и вычитания. 5 4 2 → 5 + 4 + 2 = 11; 11 : 9 = 1 (ост.2) 3 7 5 → 2 + 3 + 7 + 5 = 17; 17 : 9 = 1 (ост.8) + 1 6 4 3 → 8 + 1 + 6 + 4 + 3 = 22; 22 : 9 = 2 (ост.4) 7 8 9 1 → 4 + 7 + 8 + 9 + 1 = 29; 29 : 9 = 3 (ост.2) 1 0 4 5 1 1 + 0 + 4 + 5 + 1 = 11; 11 : 9 = 1 (ост.2) 2 = 2 Цифры слагаемых складываем построчно. От каждой полученной суммы отбрасываем по 9 до получения остатка меньше 9. Этот остаток прибавляется к сумме цифр следующей строки и так далее до последней строки включительно. Полученные остатки должны совпадать (2 = 2). 8 6 7 5 7 → 8 + 6 + 7 + 5 + 7 = 33; 33 : 9 = 3 (ост.6) - 2 5 8 4 1 → 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20; 6 0 9 1 6 → 6 + 0 + 9 + 1 + 6 = 22; 20 + 22 = 42; 42 : 9 = 4 (ост.6) 6 = 6 2.6. Умножение и деление. Здесь мы рассмотрим табличные способы умножения, умножение многозначных чисел и его различные виды, правило проверки правильности умножения, деление и его различные виды. Умножение одного числа на другое есть такое число, отношение которого к одному из сомножителей равно отношению другого сомножителя к единице. Встречается три способа простого умножения:
Способ четырехугольника - дается таблица умножения без словесных добавлений в форме квадрата. Числа от 1 до 9 включительно умножаются в столбец по порядку на 1, 2, 3, … 9 включительно, а каждое произведение записано рядом с перемноженным числом.
Способ треугольника – принцип составления ее таков: цифры каждой строки являются множителями, множимые расположены над этими цифрами. Возле каждого из чисел записаны произведения. Каждая строка сокращается по сравнению со следующей на одно действие умножения.
Табличный способ – связан с построением квадрата, был предложен Пифагором.
Правило умножения в клетку – построим прямоугольник, разделим его верх и основание на число частей, соответствующее числу цифр множителя и проводим вертикальные линии. Боковую сторону прямоугольника разделим на число частей, соответствующее числу цифр множимого и проводим горизонтальные линии. Получим равные между собой маленькие прямоугольники, в каждом из них диагонально соединим правый верхний угол с левым противоположным нижним углом, получим два треугольника. После этого заполним клетки прямоугольника: множимое запишем на верху основания прямоугольника, а множитель с боку на правой стороне. Умножаем соответствующие цифры множителя на цифры множимого, а произведение цифр справа налево последовательно записываем по первой (нижней) горизонтальной строке, по второй, по третьей и т.д. При этом единицы отмечаем в нижнем треугольнике диагонали, а десятки – в верхнем. Если в одном из множителей будет ноль, то клетки по строке оставляем пустыми. Затем складываем цифры, находящиеся между двумя параллельными диагональными линиями и результат записываем внизу под данным прямоугольником справа налево снизу вверх. Числа, начиная с верхней строки столбца и кончая первой цифрой нижней строки, и есть искомые произведения.  Ответ: 234 * 4055 = 948870  Ответ: 3652 * 2453 = 8958356 Умножение линейное (строчное). 2 5 6 множитель * 2 5 6 множитель 1 2 3 6 2*6 6*6 + 3 0 5*6 1 0 3 0 2*5 5*6 + 2 5 5*5 4 1 2 2*2 6*2 + 1 0 2*5 6 5 5 3 6 Ответ: 65536 Проверка: 256 * 256 1536 1280 512 65536 Умножение многозначного числа на число с нулями. 4000 множитель * 435798 множитель 32 36 28 промежуточные действия 20 12 16 _________________ 1743192000 ответ Правило умножения многозначного числа на многозначное. А) Справа налево. Два числа, которые мы хотим умножить друг на друга записываем одно под другим так, чтобы последний слева разряд множимого совпал с первым справа разрядом множителя. Потом цифру последнего разряда множимого (6) умножаем на цифру последнего разряда множителя (4).
4 2 1 8 2 4 6 8 2 множимое 3 7 4 множитель И то, что получится единицы записываем над тем же разрядом, на который умножаем, а десятки на один разряд левее выше их. Так умножаем до тех пор, пока не достигнем первого разряда множителя. Складываем вверх. Записываем этот результат. 6 – выбрасываем и умножаем на десятки – 8. Переносим множитель на 1 разряд вправо, умножаем десятки этого разряда (8) на разряд множителя, полученные единицы прибавляем к верхнему разряду, а десятки левее. Так поступаем пока не перемножим верхние разряды на нижние. Складываем вверх. 2. 2 5 4 3 2 2 3. 2 5 5 0 6 8 - произведение 5 3 1 2 4 6 2 6 4 6 2 2 4 4 8 2 2 5 4 3 2 2 3 7 4 3 7 4 Б) Слева направо. 1. 6 8 0 7 4 8 2. 6 3 0 6 6 8 3. 2 5 5 0 6 8 - произведение 6 4 4 6 8 2 0 1 0 8 2 5 3 2 1 4 2 4 6 8 2 6 8 0 7 4 8 6 3 0 6 6 8 3 7 4 3 7 4 3 7 4 Пример. 1. 6 4 2 6 3 2 2. 6 7 0 1 4 2 3. 6 7 1 9 7 6 5 2 1 6 3 7 6 2 7 3 4 1 8 2 6 7 3 2 6 4 2 6 3 2 6 7 0 1 4 2 9 1 8 9 1 8 9 1 8 Проверка. 732 * 918 5856 732 6588 671976 Правило проверки умножения. 8 4 3 5 → 8 + 4 + 3 + 5 = 20 20 : 9 = 2 (ост.2) * 2 3 1 6 → 2 + 3 + 1 + 6 = 12 12 : 9 = 1 (ост.3) 5 0 6 1 0 8 4 3 5 Остатки 2 * 3 = 6 2 5 3 0 5 1 6 8 7 0 1 9 5 3 5 4 6 0 → 1 + 9 + 5 + 3 + 5 + 4 + 6 + 0 = 33 : 9 = 3 (ост.6) 6 = 6 - верно 8 4 3 5 → 8 + 4 + 3 + 5 = 20 20 : 9 = 2 (ост.2) * 9 3 7 6 → 9 + 3 + 7 + 6 = 25 25 : 9 = 2 (ост.7) 5 0 6 1 0 5 9 0 4 5 Остатки 2 * 7 =14 2 5 3 0 5 14 : 9 = 1 (ост.5) 7 5 9 1 5 7 9 0 8 6 5 6 0 → 7 + 9 + 0 + 8 + 6 + 5 + 6 + 0 = 41 : 9 = 4 (ост.5 ) 5 = 5 - верно Заключение. В процессе исследования был сделан вывод: • систематическое использование на уроках естественнонаучного цикла исторических сведений о развитии математических знаний тюрко-татарского народа приводит к повышению познавательной потребности учащихся; • при использовании такого рода сведений происходит переориентировка учащихся с мотивации на получение оценки на потребность получения знаний; • постоянное использование на уроках такого рода материала имеет высокое воспитательное значение, способствующее повышению национального самосознания учащихся. Решены поставленные задачи:
2. Раскрыта и обоснована возможность использования на уроках естественнонаучного цикла в среднем звене средней общеобразовательной школы материалов по истории развития математической мысли татарского народа. Список использованной литературы 1. Антропова Г.Р. Использование татарской народной педагогики в математическом образовании учащихся. Автореферат – Казань, 2005. -272 с. 2. Беркутов В . М . Развитие математического образования булгаро-татар . — Казань: Татарское кн. изд-во, 1997.—95 с. 3. Беркутов В . М . Нырьинская старина в облике Кукморского региона. — Казань: Татарское кн. изд-во, 2003.- 88 с. 4. Беркутов В . М . У истоков просвещения: Учебные заведения на территории Республики Татарстан : краткий справочник / В. М. Беркутов . - Казань : Магариф, 2002. - 152 с 5. Гильмуллин М.Ф.Особенности изучения регионального компонента истории математики и математического образования |